Vektorer

Introduktion til vektorer og regning med vektorer

Modul 1 · 100 minutter · Ingen forudsætninger

Faglige mål

Eleverne kan definere en vektor (Objekt med retning + længde), repræsentere vektorer med koordinater og udføre de fire grundlæggende regneoperationer på vektorer.
Derudover lærer vi at forstå nulvektoren som et punkt og beregne vektorlængde samt finde stedvektorer.

Kernestof (læreplan 2017)

Et sammenhængende forløb i vektorregning.
Skifte mellem verbale, grafiske og symbolske repræsentationsformer.

Grundbog – mathhx

Introduktion til vektorer (2017-ordning)
Koordinater for vektorer (2017-ordning)

IT-værktøj

GeoGebra:
F.eks. Vektor() eller Længde()
- Givet a = Vektor((2,4)) og b = Længde(a)

Modulplan – minutskema

Tid	Aktivitet	Indhold og noter til læreren
5–10 min.	Opstart og motivation	I dag starter vi et nyt emne! Før jeg forklarer noget, vil jeg gerne høre jeres bud på hvor man i den virkelige verden møder noget, hvor man har brug for at beskrive en retning og en størrelse? a) Vejrudsigt b) GPS c) Prisbevægelser d) Handelsruter
10–25 min.	Fælles gennemgang: Vektordefinition - introduktion	Vektor som pil med retning og størrelse. Nulvektoren vs. egentlig vektor og vektorrepræsentant Regning med vektorer sum- og differens. Nulvektor vs. Egentlig vektor $\vec{a} = (a_{1}, a_{2})$ Basisvektorer mm. GeoGebra demo på projektoren: Tegning af vektorer, aflæsning af koordinater (Mathhx bruges som ledsagende tekst.).
25–45 min.	Gruppregning A: Definition, Grafer og Regneoperationer	Eleverne arbejder i par med Mathhx-opgaver (se nedenfor i boks med Øvelse A). Fokus: addition, subtraktion og skalarmultiplikation koordinatvis. Lærer cirkulerer og stiller spørgsmål som f.eks.: "Hvad sker grafisk når man tager sum af to vektorer? "Når man tager en differens?" "Hvad sker der geometrisk, når I ganger med −1? (Dette kaldes faktisk at foretage en skalarmultiplikation med -1)". Opgaverne skal skrives ind i dagens tråd #40.
50–65 min.	Fælles gennemgang: Koordinater for vektorer	Formel: $‖ \vec{a} ‖ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$ . Enhedsvektor: $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{‖ \vec{a} ‖}$ . GeoGebra: Længde()-kommandoen. Diskussion: Hvornår normaliserer man en vektor i praksis (f.eks. retningsangivelse i navigation)?
65–85 min.	Gruppregning B: Koordinater for vektorer	Se case-beskrivelse nedenfor under punktet "Koordinater for vektorer" og "Ekstra". Nu eller derhjemme bedes I alle se de tre følgende videoer som alle nås via linket under navne: 1: Introduktion til vektorer og skalarer 2: Brug af vektorer 3: Fortolkning af udsagn om vektorer Link til de tre videoer Samt lave flg. øvelser: Øvelse #1, Øvelse #2, Øvelse #3. Opgaverne skal skrives ind i dagens tråd #40.
85–100 min.	Opsamling og lektier	Alle tager dagens Kahoot

Øvelser i timen

Øvelse A

Arbejd i par med følgende opgaver fra mathhx:

Introduktion til vektorer – Øvelser 7.1.1 – 7.1.9: tegn vektorer, aflæs og bestem koordinater

mathhx: Introduktion til vektorer (2017)

Øvelse B

Arbejd i par med følgende opgaver fra mathhx:

Koordinater for vektorer – Øvelser 7.2.1 – 7.2.6: addition, subtraktion, skalarmultiplikation

Ekstra: Bestem to vektorer, hvis sum er

(0, 0)

. Hvad kalder man dem så?

mathhx: Koordinater for vektorer (2017)

Khan Academy (dansk): Introduktion til vektorer

💡 Ekstra ressourcer og quizzer til modul 1

Khan Academy dansk – Vektorer: Videoer+interaktive øvelser

Spørg Jacob om dagens Kahoot, som en god som afslutning på modulet, så han ikke glemmer den!

📖 Lektier til Modul 2 30–60 min

Læs: mathhx – Skalarprodukt og vinkel (2017-ordning) – hele kapitlet, inkl. eksempler.

Skalarprodukt, vinkel og tværvektor

Modul 2 · 100 minutter · Forudsætning: Modul 1 + lektier

Faglige mål

Eleverne lærer at beregne og fortolke skalarproduktet,
at bestemme vinklen mellem to vektorer,
at teste for ortogonalitet,
samt at arbejde med tværvektoren og beregne arealer med vektorer.

Kernestof (læreplan 2017)

Det sammenhængende forløb i vektorregning.
Matematisk ræsonnement og bevisførelse.

Grundbog – mathhx

Skalarprodukt og vinkel (2017-ordning)
Tværvektor og arealer (2017-ordning)

IT-værktøj

GeoGebra (Givet "a" og "p" som vektorer):
Prik(a, p),
Vinkel(a, p),
Tværvektor(a).
- Elever verificerer beregninger i Geogebra.

Åbningsaktivitet · 5 min. · Aha-oplevelse

Skalarproduktet som omsætning – uden at eleverne ved det

Denne aktivitet giver næsten altid en aha-oplevelse, fordi eleverne opdager skalarproduktet indefra – via noget de allerede kan – i stedet for at møde definitionen udefra. Brug den som absolut første aktivitet i modulet, inden du skriver en formel på tavlen.

Trin 1 – Skriv på tavlen (1 min.)

Du sælger to varer. Antal solgte enheder:

$\vec{a} = (3,\, 5)$

Pris pr. enhed (kr.):

$\vec{p} = (20,\, 40)$

Trin 2 – Spørg klassen (30 sek.)

"Hvad er den samlede omsætning (oms)?
Beregn det på 30 sekunder."

Eleverne beregner: oms = 3·20 + 5·40 = 60 + 200 = 260 kr.

Trin 3 – Afslør sammenhængen (1 min.)

Skriv på tavlen ved siden af elevernes svar:

$\vec{a} \cdot \vec{p} = 3 \cdot 20 + 5 \cdot 40 = 260$

"I har netop beregnet et skalarprodukt – uden at vide det!"

Trin 4 – Udvid intuitionen (2 min.)

"Hvad sker med omsætningen, hvis pris og salg peger modsat hinanden – høj pris, lavt salg?"

→ Skalarproduktet falder.
cos(v) måler præcis "hvor meget de to størrelser trækker i samme retning".

Geometrisk nøglepointe til tavlen:
cos(v) = 1 → fuldt samspil · cos(v) = 0 → intet samspil · cos(v) = −1 → modspil.
Brug dette som bro til den geometriske formel $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos(v)$.

Modulplan – minutskema

Tid	Aktivitet	Indhold og noter til læreren
0–15 min.	Lektiecheck og opvarmning	Fælles opsamling på lektien fra sidst dvs. tråd #40. Hurtig afstemning: Hvad er $\vec{a} \cdot \vec{b}$ for $\vec{a} = (1, 0)$ og $\vec{b} = (0, 1)$ ? – stem med håndsoprækning.
15–25 min.	⭐ Aha-åbning: Skalarproduktet som omsætning	Se den lysegrønne åbningsaktivitet ovenfor. Skriv $\vec{a} = (2, 4)$ og $\vec{p} = (10, 20)$ på tavlen. Lad eleverne beregne omsætningen selv (30 sek.) og afslør derefter, at de netop har beregnet et skalarprodukt. Gå ikke videre til formler, før eleverne har sagt "aha".
25–40 min.	Fælles gennemgang: Skalarprodukt og vinkel	Koordinatformlen for skalarproduktet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Geometrisk fortolkning og Ortogonalitet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ . Vinkelformlen $\vec{a} \cdot \vec{b} = ‖ \vec{a} ‖ ‖ \vec{b} ‖ \cos (v)$ . GeoGebra kommando: Vinkel(Vektor,Vektor) Givet flg. vektorer i Geogebra a = (3, 2) og b = (1, 4). Skrives blot Vinkel(a, b), til bestemmelse af vinklen mellem a og b.
40–65 min.	Parøvelse C:	Opgaver i mathhx om skalarprodukt og vinkel (se Øvelse C herunder). Ræsonnementsopgaver: Hvornår er to vektorer parallelle? Hvad siger fortegnet på skalarproduktet? Svar skrives i tråd #41
65–75 min.	Fælles gennemgang: Tværvektor og areal	Tværvektor: ${\vec{a}}_{⊥} = (- a_{2}, a_{1})$ . Verifikation: $\vec{a} \cdot {\vec{a}}_{⊥} = 0$ . Areal af parallelogram:
75–95 min.	Gruppeøvelse D: Case – International økonomi	Se case-beskrivelse nedenfor. Grupper af 3 vælger enten Øvelse D eller E som lektie og kommer med spørgsmål til eventuelle uklarheder!. Læreren fokuserer vejledning på den geometriske fortolkning af skalarproduktet.

Øvelser i timen

Øvelse C · Par · Skalarprodukt og ortogonalitet

Arbejd i par med mathhx-opgaver som skrives til: tråd #41

1: Skalarprodukt – øvelser 7.3.1 – 7.3.4: beregning og fortolkning
2: Vinkel mellem vektorer – øvelser 7.3.5 – 7.3.8
3: Hvordan kan man afgøre om to vektorer er:
-Ortogonale,
-Parallelle,
-Modsatrettede eller
-Hverken/eller.
4: Ræsonnement: Bevis $\vec{a} \cdot \vec{a} = ‖ \vec{a} ‖^{2}$ ved hjælp af koordinatformlen. Laves på papir ark som udleveres.

Khan Academy: Dot product intro (med øvelser)

Øvelse E · Par · Tværvektor og areal

En erhvervspark er afgrænset af to vektorer fra et hjørnepunkt:

$\vec{a} = (4, 1)$ og $\vec{b} = (1, 3)$
1. Beregn tværvektoren ${\vec{a}}_{⊥}$ .
2. Bekræft at $\vec{a} \cdot {\vec{a}}_{⊥} = 0$ (ortogonal).
3. Beregn arealet af den parallelogram-formede park.
4. Beregn arealet af den trekantede halvdel.
5. Verificér i GeoGebra med Polygon()-kommandoen.

mathhx: Tværvektor og arealer (2017)

Øvelse D · Gruppe · Case: International økonomi – Handel og risiko

En dansk importvirksomhed handler med to produkter. Mængder og priser beskrives med vektorer:

1 – Omsætning som skalarprodukt: Mængdevektor $\vec{q} = (200, 150)$ , prisvektor $\vec{p} = (80, 120)$ . Beregn den samlede omsætning som $\vec{q} \cdot \vec{p}$ og fortolk.
2 – Fortolkning af fortegn: En konkurrents prisvektor: $\vec{r} = (- 120, 80)$ . Beregn $\vec{q} \cdot \vec{r}$ og fortolk fortegnet. Hvad kan det betyde for virksomhedens konkurrencestilling?
3 – Risikospredning og ortogonalitet: To investeringsprojekter har risikoprofil-vektorer ${\vec{v}}_{1} = (3, 4)$ og ${\vec{v}}_{2} = (- 4, 3)$ . Vis at ${\vec{v}}_{1} ⊥ {\vec{v}}_{2}$ og diskutér: Hvad betyder ortogonalitet om risikospredning i en portefølje?
4 – Vinkel og konkurrence: To landes eksportvektorer: ${\vec{e}}_{D K} = (5, 2)$ og ${\vec{e}}_{D E} = (3, 6)$ . Beregn vinklen og diskutér: Hvad fortæller en lille vinkel om graden af konkurrence mellem landene?

7.4: Tværvektor og arealer|Areal af parallelogram udspændt af to vektorer – ekstra for stærke elever

💡 Ekstra ressourcer og quizzer til modul 2

Dagens Kahoot: Spørgsmål til de tre hovedområder:
1 – Skalarprodukt:
2 – Ortogonalitet
3 – Tværvektor

mathhx: Beviser – Vektorer (2017) – for den teoristærke elev

Oversigt: Kernestof og læreplankrav – dækning per modul

Kernestof og kompetence (læreplan 2017) Modul 1 Modul 2

Vektordefinition, retning og størrelse ✓ –

Koordinatrepræsentation (egentlig vektor) ✓ –

Addition, subtraktion, skalarmultiplikation ✓ –

Vektorlængde og enhedsvektor ✓ –

Stedvektor og tyngdepunkt ✓ –

Skalarprodukt (koordinatformel og geometrisk) – ✓

Vinkel mellem to vektorer – ✓

Ortogonalitet og parallelitet – ✓

Tværvektor – ✓

Areal af parallelogram og trekant – ✓

Analytisk og IT-baseret løsning (GeoGebra/CAS) ✓ ✓

Matematisk ræsonnement og beviser – delvist

Fagsamspil: Erhvervsøkonomi logistik risiko

Fagsamspil: International økonomi – handel/vinkel

Kernestof og kompetence (læreplan 2017)	Modul 1	Modul 2
Vektordefinition, retning og størrelse	✓	–
Koordinatrepræsentation (egentlig vektor)	✓	–
Addition, subtraktion, skalarmultiplikation	✓	–
Vektorlængde og enhedsvektor	✓	–
Stedvektor og tyngdepunkt	✓	–
Skalarprodukt (koordinatformel og geometrisk)	–	✓
Vinkel mellem to vektorer	–	✓
Ortogonalitet og parallelitet	–	✓
Tværvektor	–	✓
Areal af parallelogram og trekant	–	✓
Analytisk og IT-baseret løsning (GeoGebra/CAS)	✓	✓
Matematisk ræsonnement og beviser	–	delvist
Fagsamspil: Erhvervsøkonomi	logistik	risiko
Fagsamspil: International økonomi	–	handel/vinkel

Undervisningsforløb: Vektorer · Matematik A · hhx · Læreplan august 2017
Grundbog: mathhx – Vektorer (2017-ordning) · Læreplan: UVM.dk · GeoGebra: geogebra.org